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Approssimazione gaussiana in ottica

▪ Cosa s’intende per approssimazione gaussiana? Come nasce? Perchè è importante? Conseguenze
pratiche fra propagazione in spazio libero e guidato?


Per il modo fondamentale di propagazione le autosoluzioni dell’equazione di Helmholtz si semplificano
perchè per esso vale l=0 ed il polinomio di Laguerre diventa unitario producendo come autosoluzione per
le fibre ic e per l’approssimazione ica il modo Gaussiano puro. Per le fibre di tipo fc abbiamo visto che le
funzioni di Kummer hanno in prima approssimazione un andamento uguale alle funzioni di Laguerre e
quindi possiamo dire che anche per queste fibre il modo fondamentale si presenterà come una
gaussiana. Per le fibre di step possiamo riprende l’approssimazione fatta nel valutare la fase di gouy
equivalente del fascio di Bessel ed in cui abbiamo considerato il lobo centrale della soluzione J₀
equivalente ad una gaussiana con W₀² ≈ r²Bessel first zero / √2. Complessivamente quindi possiamo affermare
che le tre autosoluzioni presentano per il modo fondamentale di propagazione (dove valori di V inferiori ai
rispettivi cut off di secondo modo debbono essere considerati) una distribuzione di campo di tipo
gaussiano (approssimazione gaussiana). Siccome queste autosoluzioni sono relative ai profili estremi
della distribuzione di indice del core possiamo concludere che per una classe larghissima di profili
d’indice, dallo step sino al parabolico, il modo fondamentale ha una forma ben approssimabile con una
Gaussiana, cioè del tipo:
R(r )gauss = √(2/π) · 1/W ·exp (-r²/W²)
dove W è un parametro da determinare in base alla geometria del profilo d’indice ed allo stato della
propagazione, caratterizzata dal vettore d’onda generico β. Il modo fondamentale di propagazione delle
fibre ottiche per telecomunicazioni è sostanzialmente un modo di tipo LP con profilo di campo ben
approssimabile da una gaussiana. L’approssimazione Gaussiana permette di affrontare in modo semplice
il tema dell’interfaccia fra le fibre ed i segnali ottici esterni, cioè le condizioni di ingresso/uscita dalla fibra
ottica. L’approssimazione gaussiana per il modo fondamentale di propagazione permette di stabilire una
continuità matematica-fisica fra la propagazione in fibra ottica e la propagazione in spazio libero: in
entrambi i casi siamo in presenza di modi di tipo Laguerre Gauss e, nello specifico del modo LG00 ovvero
LP01.

Autori: Cristian Carissimi e Nicolò Tonato

▪ Cosa s’intende per approssimazione gaussiana? Come nasce? Perchè è importante? Conseguenze
pratiche fra propagazione in spazio libero e guidato?
Per il modo fondamentale di propagazione le autosoluzioni dell’equazione di Helmholtz si semplificano
perchè per esso vale l=0 ed il polinomio di Laguerre diventa unitario producendo come autosoluzione per
le fibre ic e per l’approssimazione ica il modo Gaussiano puro. Per le fibre di tipo fc abbiamo visto che le
funzioni di Kummer hanno in prima approssimazione un andamento uguale alle funzioni di Laguerre e
quindi possiamo dire che anche per queste fibre il modo fondamentale si presenterà come una
gaussiana. Per le fibre di step possiamo riprende l’approssimazione fatta nel valutare la fase di gouy
equivalente del fascio di Bessel ed in cui abbiamo considerato il lobo centrale della soluzione J₀
equivalente ad una gaussiana con W₀² ≈ r²Bessel first zero / √2. Complessivamente quindi possiamo affermare
che le tre autosoluzioni presentano per il modo fondamentale di propagazione (dove valori di V inferiori ai
rispettivi cut off di secondo modo debbono essere considerati) una distribuzione di campo di tipo
gaussiano (approssimazione gaussiana). Siccome queste autosoluzioni sono relative ai profili estremi
della distribuzione di indice del core possiamo concludere che per una classe larghissima di profili
d’indice, dallo step sino al parabolico, il modo fondamentale ha una forma ben approssimabile con una
Gaussiana, cioè del tipo:
R(r )gauss = √(2/π) · 1/W ·exp (-r²/W²)
dove W è un parametro da determinare in base alla geometria del profilo d’indice ed allo stato della
propagazione, caratterizzata dal vettore d’onda generico β. Il modo fondamentale di propagazione delle
fibre ottiche per telecomunicazioni è sostanzialmente un modo di tipo LP con profilo di campo ben
approssimabile da una gaussiana. L’approssimazione Gaussiana permette di affrontare in modo semplice
il tema dell’interfaccia fra le fibre ed i segnali ottici esterni, cioè le condizioni di ingresso/uscita dalla fibra
ottica. L’approssimazione gaussiana per il modo fondamentale di propagazione permette di stabilire una
continuità matematica-fisica fra la propagazione in fibra ottica e la propagazione in spazio libero: in
entrambi i casi siamo in presenza di modi di tipo Laguerre Gauss e, nello specifico del modo LG00 ovvero
LP01.▪ Cosa s’intende per approssimazione gaussiana? Come nasce? Perchè è importante? Conseguenze
pratiche fra propagazione in spazio libero e guidato?
Per il modo fondamentale di propagazione le autosoluzioni dell’equazione di Helmholtz si semplificano
perchè per esso vale l=0 ed il polinomio di Laguerre diventa unitario producendo come autosoluzione per
le fibre ic e per l’approssimazione ica il modo Gaussiano puro. Per le fibre di tipo fc abbiamo visto che le
funzioni di Kummer hanno in prima approssimazione un andamento uguale alle funzioni di Laguerre e
quindi possiamo dire che anche per queste fibre il modo fondamentale si presenterà come una
gaussiana. Per le fibre di step possiamo riprende l’approssimazione fatta nel valutare la fase di gouy
equivalente del fascio di Bessel ed in cui abbiamo considerato il lobo centrale della soluzione J₀
equivalente ad una gaussiana con W₀² ≈ r²Bessel first zero / √2. Complessivamente quindi possiamo affermare
che le tre autosoluzioni presentano per il modo fondamentale di propagazione (dove valori di V inferiori ai
rispettivi cut off di secondo modo debbono essere considerati) una distribuzione di campo di tipo
gaussiano (approssimazione gaussiana). Siccome queste autosoluzioni sono relative ai profili estremi
della distribuzione di indice del core possiamo concludere che per una classe larghissima di profili
d’indice, dallo step sino al parabolico, il modo fondamentale ha una forma ben approssimabile con una
Gaussiana, cioè del tipo:
R(r )gauss = √(2/π) · 1/W ·exp (-r²/W²)
dove W è un parametro da determinare in base alla geometria del profilo d’indice ed allo stato della
propagazione, caratterizzata dal vettore d’onda generico β. Il modo fondamentale di propagazione delle
fibre ottiche per telecomunicazioni è sostanzialmente un modo di tipo LP con profilo di campo ben
approssimabile da una gaussiana. L’approssimazione Gaussiana permette di affrontare in modo semplice
il tema dell’interfaccia fra le fibre ed i segnali ottici esterni, cioè le condizioni di ingresso/uscita dalla fibra
ottica. L’approssimazione gaussiana per il modo fondamentale di propagazione permette di stabilire una
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con le dita sempre in costante, frenetico movimento sulla tastiera… vengo spesso trascinato e catturato “in rete” per colpa delle mille idee che mi girano per la testa (prima o poi troverò quella giusta)… dal futuro incerto (nonostante una laurea, e chi non lo è?..siamo in tanti!) .. credo fortemente nella condivisione della conoscenza!

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