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parametro BER, “diagramma ad occhio”, Q, SNR e “sensitivity”

Si commenti l’importanza del parametro BER ed i suoi legami con il “diagramma ad occhio”, con il parametro Q, con il SNR del sistema e con il parametro “sensitivity”. Si valuti il BER in una rivelazione quantum-limited con statistica di Poisson.


Il BER è il tasso di errore sul bit, che per una quantità elevata di bit coincide con la probabilità di errore. E’ un parametro molto importante perché da una parte permette di comprendere come un sistema si comporta e quindi di valutarne l’affidabilità durante la trasmissione; e dall’altra parte ha uno stretto legame con l’SNR e con altri parametri utili a valutare anch’essi l’affidabilità di un sistema di comunicazione (tali parametri sono il Q, la sensitivity e il diagramma ad occhio). Il diagramma ad occhio è un diagramma ottenuto con un oscilloscopio a persistenza. Questo permette di sovrapporre uno o più tempi di bit e di visualizzare l’andamento della corrente e/o della tensione generata. Si forma così una tipica figura ad occhio la cui apertura fornisce una indicazione sulla qualità della trasmissione e del tipo di errore che interessa il segnale ricevuto. Da tale grafico è possibile estrarre un importante parametro chiamato Q, tale parametro è un parametro ibrido e si può facilmente ottenere per via sperimentale proprio grazie al diagramma ad occhio:

Q=μ1-μ0σ1+σ0

con μ1 e μ0 valori medi per bit 1 e bit 0; e con σ1 e σ0 deviazioni standard per 1 e 0.

Tale parametro contenendo valori medi e varianza è strettamente legato all’SNR e quindi assume ancora più importanza. Può quindi essere ricavato sia per via empirica che per via teorica (cioè tramite diagramma ad occhio o tramite SNR). Vediamo quindi i legami tra questi parametri.

Il BER è una funzione monotona decrescente dell’SNR elettrico al ricevitore, quindi all’aumentare del BER l’SNR diminuisce. Il legame tra questi due dipende da vari parametri come il tipo di modulazione, le sorgenti di rumore e al tipo di rivelazione. Il legame che esiste tra il BERQL e l’SNRQL, ipotizzando una trasmissione di tipo OOK è il seguente:

BERQL=12e-SNRQL

Anche Q abbiamo detto dipendere dall’SNR e quindi rappresenta una sorta di ponte tra SNR e BER. La relazione tra BER e Q è la seguente:

BER=12erfcQ2=12erfc12μ1-μ0σ1+σ0 → utilizzando approssimazione asintotica → BER=1Q2e-Q22

Mentre in caso di rumore termico prevalente si può scrivere che:

Q=12SNR → SNR=4Q2

Vi è poi un legame tra BER e sensitivity. La sensitivity è la potenza minima prestabilita per avere un determinato e preassegnato valore del BER. Esplicitando L’SNR si ottiene:

BERQL=12e-PrhvBm dove Pr è la sensitivity se fissiamo il BER

Valutiamo ora quant’è il parametro BER per una rivelazione quantum limited con statistica di Poisson, ovvero con segnale “OOK” (tutto o niente). Innanzitutto il parametro BER sarà così costituito in termini di probabilità:

BER=P0P10+P1P01 con P(i) probabilità di trasmettere 0 o 1 e P(i|k) probabilità di ricevere 0 o 1 dato che si è trasmesso rispettivamente 1 o 0.

Suppongo che P(0)=P(1)=0.5, ovvero di avere la stessa probabilità di trasmettere 1 o 0. Ora consideriamo appunto la trasmissione di tipo OOK, in cui non si hanno fotoconteggi in presenza del bit 0, mentre si hanno fotoconteggi in presenza del bit 1. Posso allora introdurre le seguenti probabilità per bit 0 e 1 di avere m fotoconteggi:

p0m=1 m=00 m>0 p1m=μ12m!e-μ1

con μ1 numero medio di fotoconteggi in corrispondenza del bit 1 e che è legato alla Pr dalla seguente relazione (supponendo η=1 e 2Bm=Rbit):

μ1=2PrhvRbit

Possiamo quindi scrivere così le probabilità condizionate e quindi il BER: P01=e-μ1 e P10=0. Quindi:

BERQL=12e-μ1

Ora abbiamo che SNRQL=μ12μ1=μ1=PrhvBm e quindi:

BERQL=12e-SNRQL=12e-PrhvBm

Autore: Daniele Polenghi


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con le dita sempre in costante, frenetico movimento sulla tastiera… vengo spesso trascinato e catturato “in rete” per colpa delle mille idee che mi girano per la testa (prima o poi troverò quella giusta)… dal futuro incerto (nonostante una laurea, e chi non lo è?..siamo in tanti!) .. credo fortemente nella condivisione della conoscenza!

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